De Algemene Relativiteitstheorie van Einstein

Afleidingen, Toepassingen en Beschouwingen – door Albert Prins

Deel VII – Vragen en Discussie

7 Antwoorden op Vragen

7.1 Afleiding van de Schwarzschild‑Formule naar de eigentijd \( \tau \)

Vraag:
Wat ik moeilijk te accepteren vind in de algemene relativiteitstheorie is de afleiding naar “\(ds\)”. Het lijn‑element is niets anders dan de lichtsnelheid, vermenigvuldigd met het lokaal gemeten tijdsverschil \(dt_{0}\) \((ds = c\,dt_{0})\). Ik kan \(dt/ds\) (verschil in kloktijden) begrijpen, maar wat betekent \(dx/ds\)?

Antwoord:
De verwarring ontstaat door de interpretatie van \(ds\). In de algemene relativiteitstheorie geldt:

\begin{equation} ds = c\,d\tau, \end{equation}
waarbij \( \tau \) de eigentijd is: de tijd die gemeten wordt door een klok die zich in rust bevindt ten opzichte van het object dat gemeten wordt, met andere woorden: de tijd op een klok die “meebeweegt” met het object zelf.

De grootheid \(dt\) daarentegen is de coördinaattijd in een universeel (of extern) referentiestelsel, bijvoorbeeld het centrum van een zwaartekrachtsveld (zoals het middelpunt van de aarde). Deze tijd \(t\) is dus geen direct gemeten tijd, maar een rekenkundige parameter die via de metriek kan worden afgeleid uit \(d\tau\).

De relatie tussen beide is:

\begin{equation} d\tau = \frac{\sigma}{\gamma}dt, \end{equation}
waarbij:

Afleiding uit de Schwarzschild‑metriek

We beschouwen het tijdsinterval op basis van de algemene vorm van het metrisch tensor‑product in een stilstaand, sferisch symmetrisch veld:

\begin{equation} c^{2} d\tau^{2} = A\,c^{2} dt^{2} - B\,dx^{2} - D\,dy^{2} - E\,dz^{2}, \end{equation}
waarbij \(A, B, D, E\) de componenten van de metrische tensor zijn, afhankelijk van de positie in de ruimte (bijvoorbeeld van \(r\)).

Deel beide zijden door \(c^{2} d\tau^{2}\):

\begin{equation} 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^{2}. \end{equation}

We herschrijven de ruimtelijke afgeleiden via de kettingregel:

\begin{equation} \frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{d\tau}, \qquad \text{enz.} \end{equation}

Hiermee wordt de vergelijking:

\begin{equation} 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \end{equation}

Hierbij zijn dus \(x, y, z\) gedeeld door \(t\) in hun eigen frame en blijken snelheden te zijn in dat frame.

\begin{equation} 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left[ 1 - \frac{B}{A c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} - \frac{D}{A c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} - \frac{E}{A c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \right]. \end{equation}

Definieer nu de snelheid:

\begin{equation} v^{2} = \frac{B}{A}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \frac{D}{A}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \frac{E}{A}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}. \end{equation}

Vul \(v\) in:

\begin{equation} 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = \frac{ A}{\gamma^{2}}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \end{equation}

Hieruit volgt:

\begin{equation} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} = \frac{\gamma^{2}}{A} \quad\Longrightarrow\quad d\tau^{2} =\frac{ A}{\gamma^{2}}\,dt^{2} = \frac{\sigma^{2}}{\gamma^{2}} dt^{2}. \end{equation}

Of:

\begin{equation} d\tau =\frac{ \sigma}{\gamma}\,dt. \end{equation}

Dit is de relatie tussen de tijd van de meetklok en de tijd op de oorsprong van het universele frame.

Interpretatie:

Deze afleiding toont de relatie aan tussen de eigentijd \(\tau\) (zoals gemeten door een bewegende klok in zijn eigen ruststelsel) en de coördinaattijd \(t\) (zoals gedefinieerd in het globale zwaartekrachtsveld). De rol van \(dx/ds\) wordt hierdoor ook duidelijk: het beschrijft de snelheid van ruimtelijke verandering per eenheid eigentijd, dus de projectie van de vier‑snelheid op de ruimtelijke coördinaten.

Deze relatie is fundamenteel binnen de algemene relativiteitstheorie en vormt de basis voor het analyseren van tijdsdilatatie in zwaartekrachtsvelden, zoals in het Hafele–Keating‑experiment en andere toepassingen van de Schwarzschild‑metriek.

7.2 Toelichting op de Transformatieformule van Einstein

In de algemene relativiteitstheorie is het fundamenteel dat fysische wetten invariant blijven onder coördinatentransformaties. De relatie tussen oude en nieuwe coördinatenstelsels wordt wiskundig uitgedrukt met behulp van een transformatieformule, gebaseerd op partiële afgeleiden.

1. Coördinatenstelsels

De formule staat voor de covariante transformatie tussen twee coördinatenstelsels. Het oude stelsel wordt aangeduid met \( x_{\beta} \), dus met coördinaatassen \( x_0, x_1, x_2, x_3 \). Het nieuwe stelsel \( x'_{\alpha} \), met \( x'_0, x'_1, x'_2, x'_3 \).

2. Transformatieformule

De differentiaal van de nieuwe coördinaten \( dx'_{\alpha} \) drukken we uit in termen van de differentiaal van de oude coördinaten \( dx_{\beta} \) als volgt:

\begin{equation} dx'_{\alpha} = \frac{\partial x_{\beta}}{\partial x'_{\alpha}} \, dx_{\beta} \end{equation}

Deze formule is geschreven volgens de Einstein-notatie, wat betekent dat er een sommatie over \( \beta \) is.

Dit betekent dus eigenlijk:

\begin{equation} dx'_{\alpha} = \frac{\partial x_0}{\partial x'_{\alpha}} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x'_{\alpha}} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x'_{\alpha}} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x'_{\alpha}} dx_3 \end{equation}

Voor elke waarde van \( \alpha \) (0 tot 3) geeft dit een afzonderlijke vergelijking die elk van de nieuwe coördinatendifferentiëlen \( dx'_0, dx'_1, dx'_2, dx'_3 \) uitdrukt in termen van de oude coördinaten.

3. Tensorvorm

In totaal krijgen we dan:

\begin{equation} dx_0' = \frac{\partial x_0}{\partial x'_0} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x'_0} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x'_0} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x'_0} dx_3 \end{equation}
\begin{equation} dx_1' = \frac{\partial x_0}{\partial x'_1} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x'_1} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x'_1} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x'_1} dx_3 \end{equation}
\begin{equation} dx_2' = \frac{\partial x_0}{\partial x'_2} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x'_2} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x'_2} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x'_2} dx_3 \end{equation}
\begin{equation} dx_3' = \frac{\partial x_0}{\partial x'_3} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x'_3} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x'_3} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x'_3} dx_3 \end{equation}

Dit kan ook worden weergegeven als een tensor (matrixvorm):

\begin{equation} \begin{pmatrix} dx'_0 \\ dx'_1 \\ dx'_2 \\ dx'_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x_0}{\partial x'_0} & \frac{\partial x_1}{\partial x'_0} & \frac{\partial x_2}{\partial x'_0} & \frac{\partial x_3}{\partial x'_0} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x'_1} & \frac{\partial x_1}{\partial x'_1} & \frac{\partial x_2}{\partial x'_1} & \frac{\partial x_3}{\partial x'_1} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x'_2} & \frac{\partial x_1}{\partial x'_2} & \frac{\partial x_2}{\partial x'_2} & \frac{\partial x_3}{\partial x'_2} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x'_3} & \frac{\partial x_1}{\partial x'_3} & \frac{\partial x_2}{\partial x'_3} & \frac{\partial x_3}{\partial x'_3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} \end{equation}

Deze matrix stelt de Jacobiaan van de coördinatentransformatie voor, en beschrijft hoe vectorcomponenten transformeren tussen twee stelsels.

4. Interpretatie

Deze formule laat zien hoe een vector (of differentiaal) in het ene stelsel kan worden uitgedrukt in het andere stelsel. Belangrijk hierbij is:

5. Voorbeeld: Transformatie binnen Schwarzschild-metriek

Een praktische toepassing is de overgang van bolcoördinaten \( (t,r,\theta,\varphi) \) naar cartesische coördinaten \( (t, x, y, z) \). Hierbij worden de ruimtelijke coördinaten getransformeerd via:

\begin{align} \begin{aligned} x &=r\sin\theta\cos\varphi \\ y &=r\sin\theta\sin\varphi \\ z &=r\cos\theta \end{aligned} \end{align}

De bijbehorende differentiaaltransformaties voor \( dx, dy, dz \) kunnen dan worden afgeleid met behulp van de kettingregel, zoals hierboven geformaliseerd.

7.3 Antwoord op vragen betreffende Schwarzschild

Vraag 1:

Waar komt de algemene relativiteitsformule met de Ricci-tensor vandaan, die pas na 1916 algemeen gebruikt werd?

Antwoord:

De volledige veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie, inclusief de Ricci-tensor, maakten vanaf het begin deel uit van Einsteins theorie. De vereenvoudigde versie met de voorwaarde \( g=-1 \) werd later gebruikt om de vergelijkingen wiskundig eenvoudiger te maken, maar deze beperking verkleint het aantal mogelijke oplossingen.

In veel literatuur wordt de tensor \( G_{\mu\nu} \) de Einstein-tensor genoemd. Einstein zelf presenteerde deze tensor als:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \end{equation}

Hierin is:

De Ricci-scalar is gegeven door:

\begin{equation} R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=g^{00}R_{00}+g^{11}R_{11}+g_{22}R^{22}+g^{33}R_{33} \end{equation}

Contractie van de Einstein-veldvergelijkingen met \( g^{\mu\nu} \) levert:

\begin{equation} g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R=R-\frac{1}{2}4R=-R \end{equation}

De volledige Einstein-veldvergelijkingen luiden:

\begin{equation} R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \end{equation}

Waarbij:

Buiten een massieve bol bevindt zich geen materie of energie. In dat geval is \( T_{\mu\nu}=0 \), en vereenvoudigen de veldvergelijkingen zich tot:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0 \end{equation}

We weten dat:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}4R_{\mu\nu}=-R_{\mu\nu} \end{equation}

Waaruit volgt:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=0 \text{ alleen als } R_{\mu\nu}=0 \text{ en dus ook } R=0 \end{equation}

Achtergrond: van Riemann tot Ricci

Einstein bouwde voort op het werk van Riemann, die reeds een wiskundige beschrijving van gekromde oppervlakken had ontwikkeld. De Riemann-tensor:

\begin{equation} R_{\mu\beta\rho\nu} \end{equation}

Dit is een tensor van rang vier en moeilijk te visualiseren. Omdat de massa-energie-impulstensor \( T_{\mu\nu} \) slechts twee indices heeft, moet de Riemann-tensor worden omgezet van vier naar twee indices.

Met behulp van de metrische tensor kan de covariante Riemann-tensor worden omgezet in een gedeeltelijk contravariante vorm:

\begin{equation} R^{\beta}_{\mu\rho\nu}=g^{\beta\beta}R_{\mu\beta\rho\nu} \end{equation}

Dit is nodig om de gewenste contractie uit te voeren. Door \( \beta=\rho \) te stellen, kan de contractie worden uitgevoerd met als resultaat de Ricci-tensor \( R_{\mu\nu} \).

\begin{equation} R^{\beta}_{\mu\beta\nu}=R_{\mu\nu} \end{equation}

Hierbij is de Ricci-tensor dus het spoor van de Riemann-tensor.

De rol van Christoffel-symbolen

De Ricci-tensor kan ook worden uitgedrukt in termen van de Christoffel-symbolen:

\begin{equation} R_{\mu\nu}=R_{\mu\rho\nu}^{\rho}=\Gamma_{\mu\nu,\rho}^{\rho}-\Gamma_{\rho\mu,\nu}^{\rho}+ \Gamma_{\rho\lambda}^{\rho}\Gamma_{\nu\mu}^{\lambda}-\Gamma_{\nu\lambda}^{\rho} \Gamma_{\rho\mu}^{\lambda} \end{equation}

waarbij het Christoffel-symbool zelf luidt:

\begin{equation} \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}\left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}}+ \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}}- \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right) \end{equation}

De afgeleide van Christoffel-symbool wordt dan:

\begin{equation} \Gamma_{\mu\nu,\gamma}^{\rho}=\frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}}{\partial x^{\gamma}}= - g^{\rho\alpha}\cdot \frac{\partial g_{\rho\alpha}}{\partial x_{\gamma}}\cdot \Gamma_{\mu\nu}^{\rho} +\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}\left( \frac{\partial^2 g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial^2 g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\gamma}}- \frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\gamma}} \right) \end{equation}

Bij het berekenen van de Ricci-elementen \( R_{00},R_{11},R_{22},R_{33} \) met de volledige Einsteinveldvergelijkingen blijkt dat dezen allemaal nul zijn, wat correct is. Maar wanneer we de berekening doen met de beperkte formule van de veldvergelijkingen \( (g=-1) \) is het resultaat niet correct. Dus de Schwarzschild vergelijking voldoet wel aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte. Dit klopt omdat bij de Schwarzschildvergelijking \( g\neq -1 \).

Over de Schwarzschild-oplossing en de beperking g=−1

Schwarzschild gebruikt de welbekende polaire vergelijking. De determinant van de metrische tensor (hier het product van de coëfficiënten) is niet \( -1 \). Deze polaire vergelijking voldoet aan de Einstein-veldvergelijkingen, maar niet aan de beperkte versie van deze vergelijkingen, omdat bij de laatste \( g=-1 \) vereist is. Schwarzschild heeft een transformatie afgeleid, gebaseerd op aangepaste polaire coördinaten, waarbij hij de transformatie zodanig heeft gekozen dat \( g=-1 \) wordt gehaald. In dat geval voldoet de vergelijking ook aan de beperkte Einstein-veldvergelijkingen.

Conclusie

Hoewel Schwarzschild probeerde te voldoen aan Einsteins wens om de metrische spoor \( g=-1 \) te hebben, is mijns inziens de enige relevante vraag dat de Einstein-veldvergelijkingen, waarbij \( T_{\mu\nu}=0 \), en dus \( R_{00}=R_{11}=R_{22}=R_{33}=0 \), worden nageleefd, ongeacht of \( g=-1 \) of \( g\neq -1 \). Dus, de eis van \( g=-1 \) is een onnodige beperking.

Vraag 2:

De consequentie van het verschil in formules is groot. In jouw document tel ik negen Christoffel-symbolen, terwijl Karl Schwarzschild er tien vond. Bij jou lijkt de 222 \( (\Gamma_{22}^{2}) \) afwezig te zijn. Dit komt omdat jouw definitie van de metrische tensor g verschilt van die van Schwarzschild; \( g_{22} \) en \( g_{33} \) zijn -1 voor Schwarzschild, terwijl jij de coördinaat r toevoegt (bijvoorbeeld \( g_{22}=-r^2 \)). Ook Droste (1917), Eddington (1921), MWT (1975) en OAS (2007) hielden zich aan \( g=-1 \) voor de Schwarzschild-oplossing, zodat: \( g_{22}=g_{33}=-1 \). Dit roept de vraag bij mij op: denk je dat \( g=-1 \) vereist is voor de Schwarzschild-oplossing?

Antwoord:

In de oorspronkelijke afleiding van Schwarzschild werd gestart vanuit het Cartesiaanse coördinatenstelsel (x, y, z). De metriek in die vorm heeft de volgende componenten:

\begin{equation} g_{00}=\sigma^2 \quad g_{11}=-\frac{1}{r^4\sigma^2} \quad g_{22}=-r^2\sin^2\theta \quad g_{33}=-r^2\sin^2\theta \end{equation}

In dit geval worden tien (of veertien) relevante Christoffel-symbolen gecreëerd. Ook zie je in mijn overzicht van formules dat ik formules heb afgeleid voor zowel de bolvormige als de Cartesiaanse x, y, z vorm. In de x, y, z vorm bestaat 222 \( (\Gamma_{22}^{2}) \).

Voor de bolvormige vorm is dit echter anders; daar zijn de elementen van de metrische tensor:

\begin{equation} g_{00}=\sigma^2 \quad g_{11}=-\frac{1}{\sigma^2} \quad g_{22}=-r^2 \quad g_{33}=-r^2\sin^2\theta \end{equation}

Dit is exact dezelfde vorm als bij Schwarzschild. In deze bolcoördinaten zijn \( g_{22} \) en \( g_{33} \) expliciet afhankelijk van \( r \) en \( \theta \), en kunnen dus niet constant zijn, zoals bij \( g_{22}=g_{33}=-1 \). Als deze waarden constant zouden zijn, zouden de partiële afgeleiden \( \frac{\partial g_{22}}{\partial r}, \frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}, \frac{\partial g_{33}}{\partial r}, \frac{\partial g_{33}}{\partial \theta} \) allemaal nul zijn. Hierdoor zouden veel Christoffel-symbolen, waaronder cruciale zoals \( \Gamma_{221} \) en \( \Gamma_{222} \), eveneens verdwijnen.

Dit geldt ook voor Schwarzschild! De elementen \( g_{22} \) en \( g_{33} \) kunnen niet -1 zijn omdat in dat geval \( \frac{\partial g_{22}}{\partial r}, \frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}, \frac{\partial g_{33}}{\partial r}, \frac{\partial g_{33}}{\partial \theta} \) nul zouden zijn en het aantal Christoffel-symbolen beperkt zou zijn tot 001 \( (\Gamma^{0}_{01})\), 010 \( (\Gamma^{0}_{10}) \), 100 \(( \Gamma^{1}_{00}) \) en 111 \( (\Gamma_{11}^{1} )\).

Wat betreft \( \Gamma_{22}^{2} \):

Voor bolcoördinaten is deze component inderdaad nul, omdat \( g_{22} \) niet afhankelijk is van \( \theta \) en de afgeleide dus nul is:

\begin{equation} \Gamma_{22}^{2}=\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}=0 \end{equation}

Belangrijk is wel dat bij evaluatie van componenten op een specifieke waarde zoals \( \theta=\frac{\pi}{2} \), (oftewel 90°) pas aan het einde van de berekeningen mag worden gesubstitueerd.

Bijvoorbeeld:

\begin{equation} \Gamma_{33}^{2}=\frac{1}{2}g^{22}\left(-\frac{\partial g_{33}}{\partial \theta}\right) =-\cos\theta\sin\theta=0 \text{ wanneer } \theta=90^\circ \end{equation}

Deze waarde wordt nul als \( \theta=\frac{\pi}{2} \), maar voor het Ricci-element is ook de afgeleide van dit Christoffel-symbool ten opzichte van \( \theta \) nodig en die is:

\begin{equation} \frac{\partial \Gamma_{33}^{2}}{\partial \theta}=-\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \text{ wanneer } \theta=90^\circ \end{equation}

En die is dus niet nul, wat cruciaal is voor het berekenen van bijvoorbeeld het Ricci-tensorcomponent \( R_{22} \).

Wat betreft de voorwaarde \( \det(g)=-1 \):

Waarom Einstein deze restrictie introduceerde is niet volledig duidelijk, maar het maakt de algebra in veel gevallen eenvoudiger en zorgt voor symmetrie. Maar naar mijn mening leidt dit tot een onnodige beperking. Het hangt ook af van welk type coördinatenstelsel wordt gekozen. Bijvoorbeeld, het element van de metrische tensor van t, x, y, z levert inderdaad een \( \det(g) \) van -1 op:

\begin{equation} \sigma^2 \cdot \left(-\frac{1}{r^4\sigma^2}\right) \cdot\left( -\frac{r^2}{\sin^2\theta} \right) \cdot\left( -r^2\sin^2\theta\right) = -1 \end{equation}

Maar met bolcoördinaten is het:

\begin{equation} \sigma^2 \cdot -\frac{1}{\sigma^2} \cdot \left(-r^2\right) \cdot \left(-r^2\sin^2\theta\right) = - r^4\sin^2\theta \end{equation}

En dus is hier \( \det(g)\neq -1 \). Toch voldoet deze metriek perfect aan de Einstein-veldvergelijkingen in vacuüm \( (T_{\mu\nu}=0) \) wat betekent dat \( R_{\mu\nu}=0 \) en dus ook \( R=0 \).

Conclusie: De eis \( \det(g)=-1 \) is een coördinaatafhankelijke conventie die wiskundig gemak kan bieden, maar fysisch niet noodzakelijk is voor de juistheid van de Schwarzschild-oplossing. Wat werkelijk telt is dat de veldvergelijkingen worden vervuld. De keuze van Schwarzschild om een transformatie te gebruiken waarmee \( \det(g)=-1 \) wordt bereikt, was vooral bedoeld om aan Einsteins wensen te voldoen, maar is vanuit fysisch oogpunt overbodig.

Vraag 3:

De veldvergelijkingen in jouw document op pagina 2 en 3, gebaseerd op de Ricci-tensor, verschillen sterk van die welke wij (en Karl Schwarzschild) in bijlage E, op basis van de G-tensor, hebben gebruikt. Je hebt de G-tensor ook genoemd in jouw document op pagina 9. Mijn vraag is: zouden de resultaten niet hetzelfde moeten zijn?

Antwoord:

Onder de G-tensor, zoals je noemt in je vraag, bedoel je de beperkte veldvergelijkingen van Einstein. Zoals ik in mijn verhaal theoretisch heb laten zien voldoet Schwarzschild aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte veldvergelijkingen G. Dit komt omdat Einstein de extra eis van \( \det(g)=-1 \) introduceerde om zo eenvoudiger formules te krijgen maar dit leidde tot onnodige beperking van mogelijke oplossingen zoals de Schwarzschild vergelijking gebaseerd op bolvormige coördinaten. Terwijl deze vergelijking een geweldige oplossing is voor het, op een redelijk eenvoudige wijze, rekenen met een verschijnsel in het vacuüm.

Vraag 4:

Ik heb nog steeds enige moeite met het begrijpen van de Schwarzschild-vergelijking en de veldvergelijkingen van Einstein. Kun je hier wat dieper op ingaan?

Antwoord:

Mijn begrip van de Schwarzschild-oplossing en de Einstein-veldvergelijkingen

Het lijkt erop dat we ons opnieuw begeven in een discussie die we al eerder hebben gevoerd. Laat mij vooraf duidelijk stellen: het is niet mijn bedoeling om de Schwarzschild- of Einstein-oplossing te verdedigen tegenover jouw benadering, of kritiek te leveren op jouw suggestie tot aanpassing van de Schwarzschild-metriek. Mijn streven is om tot een volledig begrip te komen. Zolang ik de Schwarzschild-oplossing niet doorgrond, blijf ik zoeken naar inzicht. Pas wanneer ik een fundamentele fout herken én begrijp, zal ik overwegen de oplossing te herzien.

Laten we daarom eerst de Schwarzschild-oplossing in detail bekijken, vóór we ons verdiepen in de Einstein-veldvergelijkingen. Ik pretendeer niet het volledige antwoord al te kennen, maar ik wil hier uiteenzetten hoe ik de structuur tot nu toe begrijp.

Het uitgangspunt van Einstein

Einstein zocht naar een beschrijving van de zwaartekracht waarin zwaartekracht niet langer als een gewone kracht wordt beschouwd, zoals bij Newton, maar als een gevolg van de geometrie van de ruimte-tijd.

Volgens het equivalentieprincipe kan men lokaal een vrij vallend inertiaalstelsel kiezen waarin een vrij deeltje geen gravitatieversnelling vertoont. Dit betekent echter niet dat de kromming van de ruimte-tijd daarmee overal verdwijnt. Getijdeneffecten, die samenhangen met de kromming van de ruimte-tijd, kunnen niet op dezelfde manier worden weggecoördineerd.

In de klassieke mechanica beweegt een object met constante snelheid langs een rechte lijn als er geen kracht op werkt. Einstein vertaalde dit idee naar de algemene relativiteitstheorie: een object waarop geen niet-zwaartekracht werkt, beweegt langs een geodeet van de ruimte-tijd. Een geodeet kan worden beschouwd als de generalisatie van een rechte lijn naar een gekromde ruimte-tijd.

Lokaal kan de beweging van een vrij deeltje daarom als rechtlijnig worden beschreven. Over een grotere afstand kan dezelfde baan echter een geodeet zijn in een gekromde ruimte-tijd.

Einstein zocht daarom naar een covariante wiskundige formulering die onafhankelijk is van de specifieke keuze van coördinaten en waarmee de geometrie van de ruimte-tijd kan worden beschreven.

Dit leidde tot de Einstein-veldvergelijkingen:

\[ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \]

waarbij de Einstein-tensor \(G_{\mu\nu}\) de geometrische kant van de vergelijking vertegenwoordigt en \(T_{\mu\nu}\) de energie-impulsverdeling beschrijft.

De Einstein-tensor is opgebouwd uit de Ricci-tensor \(R_{\mu\nu}\), de Ricci-scalar \(R\) en de metriek \(g_{\mu\nu}\):

\[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \]

In het vacuüm buiten een massa geldt:

\[ T_{\mu\nu}=0 \]

zodat de Einstein-veldvergelijkingen daar reduceren tot:

\[ G_{\mu\nu}=0 \]

De Ricci-tensor en de Einstein-tensor zijn tensoren. Hun componenten zijn afhankelijk van de gekozen coördinaten, maar de tensoren zelf vertegenwoordigen geometrische grootheden die onafhankelijk zijn van de specifieke coördinatenkeuze.

Coördinaten, metriek en geometrie

Hoewel de veldvergelijkingen covariant zijn, zijn de componenten van de betrokken tensoren wél afhankelijk van de keuze van het coördinatenstelsel. De Ricci-tensor \(R_{\mu\nu}\) en de Ricci-scalar \(R\) worden berekend uit de metriek en haar afgeleiden. Daarbij spelen de Christoffel-symbolen \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) een belangrijke rol.

De metriek beschrijft hoe de afstand tussen twee infinitesimaal nabije punten in de ruimte-tijd wordt berekend:

\[ ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \]

In een eenvoudige vlakke ruimte met Cartesische coördinaten kunnen we bijvoorbeeld schrijven:

\[ ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 \]

In de ruimte-tijd en in meer algemene coördinaten hangt \(ds^2\) af van de metriekcomponenten \(g_{\mu\nu}\), die in het algemeen afhankelijk kunnen zijn van de locatie.

De metriek kan bovendien kruistermen bevatten, zoals \(dx\,dy\). Deze termen kunnen optreden wanneer de coördinatenbasis niet orthogonaal is.

Ter vergelijking kunnen we denken aan de volgende twee situaties:

  • In een rechthoekig vlak geldt de stelling van Pythagoras: \[ c^2=a^2+b^2. \]
  • Wanneer de richtingen niet loodrecht op elkaar staan, komt een kruisterm voor, zoals in de cosinusregel: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\phi). \]

De afzonderlijke coördinaten en metriekcomponenten kunnen dus veranderen wanneer we een ander coördinatenstelsel kiezen, terwijl de geometrische grootheid die door \(ds^2\) wordt beschreven dezelfde blijft.

De lokale beschrijving van de ruimte-tijd

In analogie hiermee kunnen we een gekromde ruimte-tijd lokaal beschouwen. In een voldoende klein gebied kan de ruimte-tijd worden benaderd door een vlakke Minkowski-ruimte. Dit is de lokale betekenis van het equivalentieprincipe.

Een infinitesimale verplaatsing wordt beschreven door \(dx^\mu\), terwijl de metriek bepaalt hoe deze verplaatsing geometrisch moet worden geïnterpreteerd:

\[ ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \]

De metriekcomponenten kunnen van locatie tot locatie veranderen. We spreken daarom van een metriekveld:

\[ g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}(x) \]

Het is dus niet zo dat één lokaal coördinatenstelsel de gehele ruimte-tijd beschrijft. Het volledige metriekveld \(g_{\mu\nu}(x)\), beschouwd over alle punten van de ruimte-tijd, bevat de informatie over de geometrische structuur van de gehele ruimte-tijd.

De kromming ontstaat doordat de lokale geometrische structuur niet overal dezelfde is. De kromming zelf wordt uiteindelijk beschreven door de krommingstensoren, die uit de metriek en haar afgeleiden worden bepaald.

Schwarzschild's benadering

Karl Schwarzschild vond een exacte oplossing van de Einstein-vergelijkingen voor het vacuüm buiten een sferisch symmetrische massa.

Bij deze oplossing worden onder andere de volgende aannames gemaakt:

  • de ruimte-tijd buiten de massa is vacuüm;
  • de situatie is sferisch symmetrisch;
  • de oplossing is statisch;
  • op grote afstand van de massa nadert de ruimte-tijd de vlakke Minkowski-ruimte.

In de gebruikelijke Schwarzschild-coördinaten kan de oplossing worden geschreven als:

\[ ds^2= -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\phi^2 \]

Wat hierbij opvalt, is dat de metriek in deze coördinaten geen kruistermen bevat. De metriek is dus diagonaal en de gekozen coördinatenbasis is orthogonaal ten opzichte van de metriek.

Dit betekent echter niet dat Schwarzschild eenvoudigweg als onafhankelijke fysieke voorwaarde heeft opgelegd dat alle coördinaten loodrecht op elkaar moeten staan. De diagonale vorm hangt samen met de symmetrieën van het probleem en met de gekozen coördinaten.

De afwezigheid van kruistermen betekent bovendien niet dat de ruimte-tijd vlak is. De metriekcomponenten zijn afhankelijk van \(r\), waardoor de geometrische eigenschappen van de ruimte-tijd van locatie tot locatie veranderen.

De betekenis van de coördinaten

Hier zit voor mij een belangrijk punt.

De vier coördinaten

\[ (t,r,\theta,\phi) \]

zijn in eerste instantie slechts een manier om gebeurtenissen in de ruimte-tijd te labelen. De coördinaten zelf zijn niet rechtstreeks de fysisch gemeten afstand, tijdsduur of hoek.

De metriek bepaalt hoe veranderingen in deze coördinaten zich vertalen naar fysische afstanden en tijdsintervallen.

Bijvoorbeeld de radiale component van de Schwarzschild-metriek is:

\[ ds_r^2= \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)^{-1}dr^2 \]

De factor vóór \(dr^2\) laat zien dat een verandering \(dr\) in de Schwarzschild-radiale coördinaat niet zonder meer gelijk is aan een fysisch gemeten radiale afstand.

Hetzelfde geldt voor de tijdcoördinaat \(t\). Deze is niet zonder meer gelijk aan de eigen tijd die een specifieke waarnemer meet.

De metriek geeft dus de relatie tussen de gekozen coördinaten en de lokaal meetbare geometrische grootheden.

Van infinitesimale verplaatsingen naar een baan

Wanneer we een kromme door de ruimte-tijd beschouwen, kunnen we deze beschrijven met een parameter \(\lambda\):

\[ x^\mu=x^\mu(\lambda) \]

De infinitesimale verplaatsing langs deze kromme is:

\[ dx^\mu= \frac{dx^\mu}{d\lambda}\,d\lambda \]

Invullen in de metriek geeft:

\[ ds^2= g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} d\lambda^2 \]

Voor een gegeven kromme kan de totale eigenlengte of eigentijd vervolgens worden berekend door de infinitesimale bijdragen te integreren:

\[ s=\int ds \]

De baan van een vrij deeltje volgt echter niet simpelweg uit het uitvoeren van deze integraal. De geodetische baan wordt verkregen uit een variatieprincipe waarbij de betreffende kromme stationair is.

Dit leidt tot de geodetische vergelijking:

\[ \frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\lambda} \frac{dx^\beta}{d\lambda} =0 \]

De Christoffel-symbolen \(\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\) worden bepaald door de metriek en haar eerste afgeleiden.

Daarmee ontstaat voor mij de volgende keten:

\[ g_{\mu\nu} \quad\longrightarrow\quad \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \quad\longrightarrow\quad \text{geodetische vergelijking} \quad\longrightarrow\quad \text{baan van een vrij deeltje} \]

Waar mijn vraag over Schwarzschild ontstaat

Tot zover kan ik de Schwarzschild-oplossing redelijk goed volgen.

Mijn vraag ontstaat wanneer we naast de volledige Einstein-veldvergelijkingen nog een extra voorwaarde gaan stellen aan de metriek, bijvoorbeeld:

\[ g=\det(g_{\mu\nu})=-1 \]

De Schwarzschild-metriek voldoet in de gebruikelijke Schwarzschild-coördinaten niet aan deze voorwaarde. De determinant van de metriek is daar afhankelijk van de coördinaten.

Dat betekent voor mij echter niet automatisch dat de Schwarzschild-oplossing geen oplossing van de Einstein-veldvergelijkingen is. Integendeel: de Schwarzschild-metriek is een exacte oplossing van de vacuüm- Einsteinvergelijkingen buiten de massa.

Daarom wil ik de twee zaken strikt van elkaar gescheiden houden:

  1. Voldoet de Schwarzschild-metriek aan de volledige Einstein-veldvergelijkingen?
  2. Voldoet dezelfde metriek daarnaast aan de aanvullende voorwaarde \(g=-1\)?

Dat zijn volgens mij twee verschillende vragen.

Mijn bedoeling is daarom niet om de Schwarzschild-oplossing als zodanig ter discussie te stellen. Ik probeer juist te begrijpen wat er gebeurt wanneer we de volledige Einstein-veldvergelijkingen combineren met een aanvullende voorwaarde zoals \(g=-1\).

De voorwaarde \(g=-1\) maakt geen onderdeel uit van de standaard Einstein-veldvergelijkingen. Wanneer deze voorwaarde als aanvullende coördinatenvoorwaarde wordt opgelegd, beperkt zij de toegestane coördinatenkeuzes.

De interessante vraag is daarom wat er precies gebeurt wanneer deze aanvullende voorwaarde wordt opgelegd aan een oplossing zoals Schwarzschild. Is het slechts een andere keuze van coördinaten, of heeft de voorgestelde "gerepareerde" oplossing een verdergaande betekenis?

Dat is voor mij uiteindelijk de vraag die ik eerst mathematisch wil beantwoorden, voordat ik een oordeel kan geven over de Schwarzschild- oplossing of over de voorgestelde aanpassing daarvan.

Samenvatting

  • De Einstein-veldvergelijkingen beschrijven de relatie tussen de geometrie van de ruimte-tijd en de verdeling van energie en impuls.
  • De metriek \(g_{\mu\nu}\) bepaalt de lokale geometrische structuur van de ruimte-tijd.
  • De Ricci-tensor \(R_{\mu\nu}\) en Einstein-tensor \(G_{\mu\nu}\) zijn tensoren waarvan de componenten afhankelijk zijn van het gekozen coördinatenstelsel.
  • Schwarzschild vond een exacte oplossing van de vacuüm- Einsteinvergelijkingen voor een statische, sferisch symmetrische massa.
  • In de gebruikelijke Schwarzschild-coördinaten heeft de metriek een diagonale vorm en bevat zij geen kruistermen.
  • Dit betekent niet dat de ruimte-tijd vlak is; de metriekcomponenten zijn afhankelijk van \(r\).
  • De Schwarzschild-oplossing voldoet aan de volledige Einstein- veldvergelijkingen, zonder dat de aanvullende voorwaarde \(g=\det(g_{\mu\nu})=-1\) noodzakelijk onderdeel daarvan is.
  • De vraag wat er precies verandert wanneer \(g=-1\) als aanvullende voorwaarde wordt opgelegd, moet afzonderlijk mathematisch worden onderzocht.

7.4 Gedetailleerde afleiding van de Einstein-Vergelijking (57) vanuit vergelijking (53)

Vraag:

Ik ben Einsteins originele GR-paper aan het lezen. Ik heb het als PDF bij deze e-mail bijgevoegd. (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 (this revised edition: 1924)) (Einstein, The Collected Papers of Albert Einstein, 1997)

In sectie 18, onderaan pagina 186 van het artikel (onderaan links op pagina 22 van de PDF), staat een vergelijking die ik probeer af te leiden met de methode die Einstein voorstelt in het artikel (vermenigvuldiging van vergelijking 53 met de afgeleide van de metrische tensor en gebruikmakend van de methoden in sectie 15). Zou je deze vergelijking op de specifieke manier die Einstein aangeeft kunnen afleiden, en uitsluitend gebaseerd op het voorgaande materiaal in Einsteins artikel? Kun je mij de gedetailleerde stappen laten zien die je hebt genomen om tot die vergelijking te komen volgens de methode die Einstein aangeeft?

Antwoord:

Opmerking: de vergelijkingsnummers verwijzen naar het originele werk van Einstein over Algemene Relativiteit.

Afleiding van vergelijking (57) uit vergelijking (53)

We vertrekken vanuit vergelijking (53) in Einsteins artikel:

\begin{equation} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} +\Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} =-\kappa\left( T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) \end{equation}

Hierbij geldt:

Stap 1: Vermenigvuldig met \( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\varsigma} \)

\begin{equation} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} +\Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \right) = \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \left( -\kappa \left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) \right) \end{equation}

Dit leidt tot:

\begin{equation} =-\kappa\left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T\right) \end{equation}

Stap 2: Gebruik dat \( g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}=0 \)

Uit vergelijking (29) in Einsteins artikel volgt:

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial(\sqrt{-g})}{\partial x^\sigma} =-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Omdat \( \sqrt{-g}=-1 \), is:

\begin{equation} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}=0 \end{equation}

Dus:

\begin{equation} = -\kappa \left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T\right) = -\kappa \left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} - 0\right) = -\kappa \, \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} \end{equation}

De vergelijking wordt:

\begin{equation} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} + \kappa \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \end{equation}

De volgende stap:

\begin{equation} \frac{1}{2\kappa}\left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}\frac{\partial \Gamma^\alpha_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}+\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}\Gamma^\alpha_{\mu\beta} \Gamma^\beta_{\nu\alpha} \right)+ \frac{1}{2}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \end{equation}

Vervang dit in:

\begin{equation} \frac{1}{2\kappa} \left(\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\left(-2\kappa t^\alpha_\sigma \right) \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} = 0 \end{equation}

(Kijk verder hieronder voor de uitwerking van de stap van vergelijking (50) naar (51).)

Dit leidt tot:

\begin{equation} - \frac{\partial t_{\sigma}^{\ \alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} = 0 \end{equation}

Gebruik nu Einsteins vergelijking (56):

\begin{equation} \frac{\partial (t_{\mu}^{\sigma} + T_{\mu}^{\sigma})}{\partial x^{\sigma}} = 0 \end{equation}

Dus:

\begin{equation} \frac{\partial t_{\mu}^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}} = - \frac{\partial T_{\mu}^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}} \end{equation}

Vervang \(\sigma\) door \(\alpha\), en \(\mu\) door \(\sigma\):

\begin{equation} \frac{\partial t_{\sigma}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} = - \frac{\partial T_{\sigma}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} \end{equation}

De vergelijking (52) wordt:

\begin{equation} \frac{\partial T_{\sigma}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} = 0 \end{equation}

Dit is precies Einsteins vergelijking (57).

Afleiding van de stap van vergelijking (50) naar (51) van hierboven:

Om te bewijzen dat:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\left(-2\kappa t_{\sigma}^{\ \alpha}\right) = \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \end{equation}

Gebruiken we Einstein vergelijking (48):

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} = -\Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial g_{\sigma}^{\mu\nu}} = \Gamma_{\mu\nu}^{\sigma} \end{equation}

Einstein vergelijking (47b):

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} = 0 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) = \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \end{equation}
Het linkergedeelte van vergelijking (50):

\begin{equation} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \end{equation}

Kan herschreven worden als:

\begin{equation} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \end{equation}

Nu kunnen we differentiëren:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\sigma}^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \end{equation}

Hier geldt:

\begin{equation} \frac{\partial g_{\sigma}^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial^2 g^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha \partial x^\sigma} = \frac{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Vul dit in:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Zoals vermeld in Einsteins document onder vergelijking (47a), wordt \( H \) beschouwd als een functie van \( g^{\mu\nu} \) en \( g_{\sigma}^{\mu\nu}=\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \), dus:

\begin{equation} \frac{\partial H}{\partial x^\sigma} = \frac{\partial H}{\partial g_{,\alpha}^{\mu\nu}} \frac{\partial g_{,\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Vul dit in:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Of:

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^\sigma}(H) \end{equation}
\begin{equation} = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^\alpha} (\delta_{\sigma}^{\alpha}H) \end{equation}

\begin{equation} = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \delta_{\sigma}^{\alpha}H \right) \end{equation}

Volgens Einstein vergelijking (49):

\begin{equation} -2\kappa t_{\sigma}^{\alpha} = g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \delta_{\sigma}^{\alpha}H \end{equation}

Vul dit in vergelijking (50):

\begin{equation} \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \end{equation}

Wordt:

\begin{equation} \frac{1}{2\kappa}\left[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} (-2\kappa t_{\sigma}^{\alpha})\right] + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \end{equation}

q.e.d.

7.5 Vraag over vergelijking in Einsteins origineel werk (Engelse versie)

Vraag:

Ik voeg opnieuw het PDF-bestand toe van Einsteins artikel ter referentie (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 – herziene editie 1924; ook in The Collected Papers of Albert Einstein, 1997).

Onderaan pagina 191 van de Engelse versie staan drie termen, gescheiden door gelijkheidstekens. Ik begrijp niet waarom de eerste term gelijk is aan de tweede. Einstein verwijst naar vergelijking (60), maar die helpt me niet verder. Kun je uitleggen waarom die twee termen aan elkaar gelijk zijn?

Antwoord:

We bekijken eerst vergelijking (60) in Einsteins originele Duitse artikel.

Op pagina 812 van het Duitse origineel lijkt een fout te staan in vergelijking (60):

\begin{equation} \frac{\partial F_{\varrho\sigma}}{\partial x^\tau} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^\varrho} + \frac{\partial F_{\tau\varrho}}{\partial x^\varrho} =0 \end{equation}

Waarschijnlijk is dit:

\begin{equation} \frac{\partial F_{\varrho\sigma}}{\partial x^\tau} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^\varrho} + \frac{\partial F_{\tau\varrho}}{\partial x^\sigma} =0 \end{equation}

In de Engelse vertaling is dit gecorrigeerd.

Op pagina 191 vinden we:

\begin{equation} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{1}{2}F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} = -\frac{1}{2}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \end{equation}

Waarom geldt:

\begin{equation} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{1}{2}F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}? \end{equation}

Volgens (60):

\begin{equation} \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} =0 \end{equation}

Dus:

\begin{equation} \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu} \end{equation}

Invullen:

\begin{equation} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} =F^{\mu\nu}\left( - \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}\right) =-F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}} {\partial x^\mu} \end{equation}

Nu splitsen we elke term in twee gelijke delen:

\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} \end{equation}
\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2}\left( F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}}\right) \end{equation}

Nu herschikken we de indices (dummy-indices mogen verwisseld worden):

\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} \left(F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + F^{\nu\mu}\frac{\partial F_{\mu\sigma}}{\partial x^{\nu}}\right) \end{equation}

Omdat \(F^{\nu\mu} = -F^{\mu\nu}\), verandert het laatste lid van teken:

\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2}\left( F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} - F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\sigma}}{\partial x^{\nu}}\right) \end{equation}

Door de indices van \(\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}}\) om te wisselen en het teken te veranderen:

\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2}\left( F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}}\right) \end{equation}
\begin{equation} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{1}{2} F^{\mu\nu} \left( \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}} \right) \end{equation}

De uitdrukking tussen haakjes is precies vergelijking (60), die gelijk is aan nul. Dus:

\begin{equation} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \end{equation}

q.e.d.

7.6 Vraag over Einsteins vergelijking (69)

Vraag:
In vergelijking (69) uit Einsteins boek staat:

\begin{equation} k = \frac{8\pi K}{c^2} = 1.87 \cdot 10^{-27} \quad (E69) \end{equation}
Waarom komt dit getal niet overeen met de waarde die we tegenwoordig gebruiken? En waarom staat er nog een \( c^2 \) in de noemer als Einstein eerder heeft gesteld \( c = 1 \) te nemen?

Antwoord:
Einstein werkte in dit boek met CGS-eenheden (centimeter–gram–seconde), terwijl we tegenwoordig meestal SI-eenheden (meter–kilogram–seconde) gebruiken. Dat veroorzaakt verschillen in de numerieke waarden van natuurconstanten zoals \( K \) (de gravitatieconstante), afhankelijk van het eenhedenstelsel.

Stap 1: Interpretatie van Einsteins notatie

Is:

Als we deze waarden invullen:

\begin{equation} k = \frac{8\pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-8}}{(3.00 \cdot 10^{10})^2} \approx 1.87 \cdot 10^{-27} \end{equation}
Dat is precies de waarde die Einstein vermeldt. Zijn berekening klopt dus binnen het CGS-stelsel.

Stap 2: Omschakeling naar moderne eenheden (SI)

In moderne literatuur gebruiken we voor de Einstein-veldvergelijkingen:

\begin{equation} k = \frac{8\pi G}{c^4} \approx 2.07 \cdot 10^{-43} \end{equation}
met:

Ingevuld:

\begin{equation} k = \frac{8\pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-11}}{(3.00 \cdot 10^{8})^4} \approx 2.07 \cdot 10^{-43} \, \text{m}^{-1} \text{kg}^{-1} \text{s}^2 \end{equation}

Stap 3: Waarom is er nog een \( c^2 \) in Einsteins vergelijking?

Hoewel Einstein op andere plaatsen in het boek de conventie \( c = 1 \) gebruikt (natural units), blijft hij hier \( c \) expliciet noteren. Dat is waarschijnlijk omdat hij op dit punt nog een numerieke schatting wilde geven die correspondeert met concrete fysische eenheden, en dus even afzag van de conventie \( c = 1 \).

Conclusie: