Appendix 12 — Afleiding van de Euler–Lagrange‑vergelijking

Appendix 12.1 — Definitie van de functionaal

We beginnen met een functie \( f_{1} \) die afhangt van drie variabelen: \(t\), \(x_{1}(t)\) en \( \dot{x}_{1}(t) = \frac{dx_{1}}{dt} \):

\[ f_{1} = f\!\left(t,\, x_{1}(t),\, \dot{x}_{1}(t)\right). \tag{1} \]

Hier is \(x_{1}(t)\) een functie van \(t\), dus \(\dot{x}_{1}(t)\) is niet nul. In feite is \(t\) de enige onafhankelijke variabele; \(f_{1}\) is dus een functie van een functie.

We beschouwen nu de functionaal:

\[ I_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} f\!\left(t,\, x_{1}(t),\, \dot{x}_{1}(t)\right)\, dt. \tag{2} \]

We zoeken de extremale waarde (minimum, maximum of zadelpunt) van \(I_{1}\). Daarvoor moet gelden:

\[ \delta I_{1} = 0. \tag{3} \]

Appendix 12.2 — Variatie van de baan

Om te bewijzen dat \(I_{1}\) een extremum is, beschouwen we een licht verschoven curve:

\[ x_{2}(t,\lambda) = x_{1}(t) + \lambda\, \xi(t), \tag{4} \]

waarbij:

\(\lambda\) een kleine parameter is, onafhankelijk van \(t\),
\(\xi(t)\) een willekeurige maar gladde functie is.

Omdat de variatie de eindpunten niet mag veranderen, geldt:

\[ \xi(t_{1}) = 0, \qquad \xi(t_{2}) = 0. \tag{5} \]

De functie \(x_{2}(t,\lambda)\) verschilt dus alleen tussen \(t_{1}\) en \(t_{2}\), maar valt samen met \(x_{1}(t)\) op de eindpunten.

Appendix 12.3 — Variatie van de functionaal

De integraal \(I_{2}\) voor de aangrenzende curve is:

\[ I_{2} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{2}\, dt. \tag{6} \]

Met: \[ f_{2} = f\!\left(t,\; x_{2}(t,\lambda),\; \frac{d{x}_{2}(t,\lambda)}{dt}\right). \]

Door (6) in te vullen in vergelijking (4) krijgen we:

\[ I_2=\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{2}(t,\lambda),\; \frac{d{x}_{2}(t,\lambda)}{dt}\right)dt. \] \[ =\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{1}(t)+\lambda\xi(t)),\; \frac{d\left({x}_{1}(t)+\lambda\xi(t)\right)}{dt}\right)dt. \] \[ I_2=\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{1}(t)+\lambda\xi(t)),\; \frac{d{x}_{1}(t)}{dt}+\frac{d\lambda\xi(t)}{dt}\right)dt \tag{7} \]

Omdat \(I_{1}\) een extreme waarde is, moet ook \(I_{2}\) een extremum zijn voor \(\lambda = 0\):

\[ \lim_{\lambda \to 0} I_{2} = \text{minimum, maximum of zadelpunt}. \tag{8} \]

De extreme waarde wordt gevonden door de afgeleide naar \(\lambda\) te nemen en deze gelijk te stellen aan nul:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \frac{d I_{2}}{d\lambda} = 0. \tag{9} \]

In combinatie met vergelijking (6):

\[ \lim_{\lambda \to 0} \frac{d}{d\lambda} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{2}\, dt = 0, \tag{10} \]

of:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt = 0. \]

Appendix 12.4 — Differentiatie naar de variatieparameter

We hadden: \[ \lim_{\lambda \to 0} \frac{d}{d\lambda} \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left( f_{2}\, dt\right) = 0. \] Omdat dit een product is van twee functies, passen we de regel van partiële differentiatie toe:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt + f_{2}\, \frac{d}{d\lambda}(dt) \right) = 0. \tag{11} \]

Omdat \(t\) en \(\lambda\) onafhankelijk zijn, is: \[ \frac{d t}{d\lambda} = 0, \] dus de tweede term valt weg:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt = 0 \tag{12} \]

Appendix 12.5 — Uitwerken van \( \frac{d f_{2}}{d\lambda} \)

\(f_2\) is, zoals eerder vermeld, een functie van drie variabelen: \[ f_{2} = f\!\left(t,\; x_{2},\; \dot{x}_{2}\right). \]

We passen nu hierop de kettingregel toe:

\[ \frac{d f_{2}}{d\lambda} = \frac{\partial f_{2}}{\partial t}\frac{dt}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda} \] dus:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial t}\frac{dt}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda} \right)\, dt = 0 \tag{13} \]

Omdat \(t\) en \(\lambda\) onafhankelijk zijn, is de eerste term nul:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial t}\cdot 0 + \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda} \right)\, dt = 0 \tag{14} \] \[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda} \right)\, dt = 0 \]

Omdat: \[ \frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda} =\frac{d^2x_2}{dtd\lambda} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right) \tag{15} \] Leidt vergelijking (14), samen met (15), tot:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda} + \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right) \right)dt=0 \tag{16} \]

\[ \lim_{\lambda \to 0} \left( \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)dt \right)=0 \]

Appendix 12.6 — Integreren per delen

We integreren nu partiëel de tweede term:

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} d\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right) \] \[ = \left[ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda} \right]_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda}\, \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \, dt. \tag{17} \]

De afgeleide van \(x_2\) naar 𝜆 wordt gevonden door differentiatie van vergelijking (4):

\[ \frac{dx_2(t,\lambda)}{d\lambda}=\frac{d\left(x_1(t)+\lambda\xi(t)\right)}{d\lambda}=0+\xi(t)=\xi(t) \tag{18} \]

Omdat de functie \(\xi(t)\) nul is aan de grenzen van de integraal (zie vergelijking (5)), verdwijnt de linkerkant van de rechterterm in vergelijking (17):

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt = \left[ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda} \right]_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda}\, \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \, dt \]

Dit geeft dus:

\[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt = - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda}\, \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \, dt \tag{19} \]

Dit resultaat gecombineerd met vergelijking (16) leidt tot:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \left( \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda}\, dt + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot x_2}\, \frac{d\left(\frac{dx_2}{d\lambda}\right)}{dt}dt \right) = 0 \tag{20} \]

\[ \lim_{\lambda \to 0} \left( \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda}\, dt - \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{dx_{2}}{d\lambda}\, \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)dt \right) = 0 \]

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda} - \frac{dx_{2}}{d\lambda}\, \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right)dt = 0 \]

\[ \lim_{\lambda \to 0} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2} - \, \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right)\frac{dx_2}{d\lambda}dt = 0 \]

Om deze integraal nul te maken, stellen we dat:

\[ \lim_{\lambda \to 0} \left( \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2} - \, \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right) = 0 \]

\[ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_2} - \, \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right) = 0 \tag{21} \]

Nus is 𝜆 volledig verdwenen en hebben we een algemene uitdrukking verkregen voor de voorwaarde waaraan een functie moet voldoen zodat de integraal 𝛪 een extreme waarde heeft.

We zijn begonnen met vergelijking (1) voor onze afleiding, maar we zouden dit startpunt nog algemener kunnen maken door een functie te nemen zoals:

\[ f_1=f\left(t,x_1(t),\frac{dx_1(t)}{dt}, x_2(t), \frac{dx_2(t)}{dt} \text{..............}x_n(t),\frac{dx_n(t)}{dt} \right) \tag{22} \]

Dit zou hebben geleid tot een meer algemene vorm van vergelijking (21):

\[ \frac{\partial f}{\partial x_n} - \, \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x_n}}\right) = 0 \tag{23} \]

Of in een andere notatie: \[ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x_n}}\right) = \frac{\partial f}{\partial x_n} \tag{24} \] Vergelijking (24) is de Euler-Lagrange vergelijking. Het geeft de voorwaarde waaraan een functie moet voldoen zodat de integraal 𝛪 een extreme waarde is.

Dit vormt het fundament van de variatierekening, de klassieke mechanica, de veldentheorie en de algemene relativiteitstheorie.