Deel VII – Vragen en Discussie

7 Antwoorden op Vragen

7.1 Afleiding van de Schwarzschild‑Formule naar de eigentijd \( \tau \)

Vraag:
Wat ik moeilijk te accepteren vind in de algemene relativiteitstheorie is de afleiding naar “\(ds\)”. Het lijn‑element is niets anders dan de lichtsnelheid, vermenigvuldigd met het lokaal gemeten tijdsverschil \(dt_{0}\) \((ds = c\,dt_{0})\). Ik kan \(dt/ds\) (verschil in kloktijden) begrijpen, maar wat betekent \(dx/ds\)?

Antwoord:
De verwarring ontstaat door de interpretatie van \(ds\). In de algemene relativiteitstheorie geldt: \[ ds = c\,d\tau, \] waarbij \( \tau \) de eigentijd is: de tijd die gemeten wordt door een klok die zich in rust bevindt ten opzichte van het object dat gemeten wordt — met andere woorden: de tijd op een klok die “meebeweegt” met het object zelf.

De grootheid \(dt\) daarentegen is de coördinaattijd in een universeel (of extern) referentiestelsel, bijvoorbeeld het centrum van een zwaartekrachtsveld (zoals het middelpunt van de aarde). Deze tijd \(t\) is dus geen direct gemeten tijd, maar een rekenkundige parameter die via de metriek kan worden afgeleid uit \(d\tau\).

De relatie tussen beide is: \[ d\tau = \frac{\sigma}{\gamma}dt, \] waarbij:

• \(\sigma = \sqrt{1 - \dfrac{R_{s}}{r}}\) de gravitationele factor is (afgeleid uit de Schwarzschild‑oplossing),
• \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\) de Lorentzfactor,
• \(R_{s} = \dfrac{2GM}{c^{2}}\) de Schwarzschildstraal.

Afleiding uit de Schwarzschild‑metriek

We beschouwen het tijdsinterval op basis van de algemene vorm van het metrisch tensor‑product in een stilstaand, sferisch symmetrisch veld:

\[ c^{2} d\tau^{2} = A\,c^{2} dt^{2} - B\,dx^{2} - D\,dy^{2} - E\,dz^{2}, \] waarbij \(A, B, D, E\) de componenten van de metrische tensor zijn, afhankelijk van de positie in de ruimte (bijvoorbeeld van \(r\)).

Deel beide zijden door \(c^{2} d\tau^{2}\): \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^{2}. \]

We herschrijven de ruimtelijke afgeleiden via de kettingregel: \[ \frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{d\tau}, \qquad \text{enz.} \]

Hiermee wordt de vergelijking: \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \]

Hierbij zijn dus \(x, y, z\) gedeeld door \(t\) in hun eigen frame en blijken snelheden te zijn in dat frame.

\[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left[ 1 - \frac{B}{A c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} - \frac{D}{A c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} - \frac{E}{A c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \right]. \]

Definieer nu de snelheid: \[ v^{2} = \frac{B}{A}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \frac{D}{A}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \frac{E}{A}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}. \]

Vul \(v\) in: \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = A\,\gamma^{2}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \]

Hieruit volgt: \[ \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} = \frac{\gamma^{2}}{A} \quad\Longrightarrow\quad d\tau^{2} =\frac{ A}{\gamma^{2}}\,dt^{2} = \frac{\sigma^{2}}{\gamma^{2}} dt^{2}. \]

Of: \[ d\tau =\frac{ \sigma}{\gamma}\,dt. \]

Dit is de relatie tussen de tijd van de meetklok en de tijd op de oorsprong van het universele frame.

Conclusie

Deze afleiding toont de relatie aan tussen de eigentijd \(\tau\) (zoals gemeten door een bewegende klok in zijn eigen ruststelsel) en de coördinaattijd \(t\) (zoals gedefinieerd in het globale zwaartekrachtsveld). De rol van \(dx/ds\) wordt hierdoor ook duidelijk: het beschrijft de snelheid van ruimtelijke verandering per eenheid eigentijd — dus de projectie van de vier‑snelheid op de ruimtelijke coördinaten.

Deze relatie is fundamenteel binnen de algemene relativiteitstheorie en vormt de basis voor het analyseren van tijdsdilatatie in zwaartekrachtsvelden, zoals in het Hafele–Keating‑experiment en andere toepassingen van de Schwarzschild‑metriek.

7.2 Toelichting op de Transformatieformule van Einstein

In de algemene relativiteitstheorie is het fundamenteel dat fysische wetten invariant blijven onder coördinatentransformaties. De relatie tussen oude en nieuwe coördinatenstelsels wordt wiskundig uitgedrukt met behulp van een transformatieformule, gebaseerd op partiële afgeleiden.

1. Coördinatenstelsels

De formule staat voor de covariante transformatie tussen twee coördinatenstelsels. Het oude stelsel wordt aangeduid met \( x_{\beta} \), dus met coördinaatassen \( x_0, x_1, x_2, x_3 \). Het nieuwe stelsel \( x_{\alpha'} \), met \( x_0', x_1', x_2', x_3' \).

2. Transformatieformule

De differentiaal van de nieuwe coördinaten \( dx_{\alpha'} \) drukken we uit in termen van de differentiaal van de oude coördinaten \( dx_{\beta} \) als volgt:

\[ dx_{\alpha'} = \frac{\partial x_{\beta}}{\partial x_{\alpha'}} \, dx_{\beta} \]

Deze formule is geschreven volgens de Einstein-notatie, wat betekent dat er een sommatie over \( \beta \) is.

Dit betekent dus eigenlijk:

\[ dx_{\alpha'} = \frac{\partial x_0}{\partial x_{\alpha'}} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x_{\alpha'}} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x_{\alpha'}} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x_{\alpha'}} dx_3 \]

Voor elke waarde van \( \alpha \) (0 tot 3) geeft dit een afzonderlijke vergelijking die elk van de nieuwe coördinatendifferentiëlen \( dx_0', dx_1', dx_2', dx_3' \) uitdrukt in termen van de oude coördinaten.

3. Tensorvorm

In totaal krijgen we dan:

\[ dx_0' = \frac{\partial x_0}{\partial x_0'} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x_0'} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x_0'} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x_0'} dx_3 \] \[ dx_1' = \frac{\partial x_0}{\partial x_1'} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x_1'} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x_1'} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x_1'} dx_3 \] \[ dx_2' = \frac{\partial x_0}{\partial x_2'} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x_2'} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x_2'} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x_2'} dx_3 \] \[ dx_3' = \frac{\partial x_0}{\partial x_3'} dx_0 + \frac{\partial x_1}{\partial x_3'} dx_1 + \frac{\partial x_2}{\partial x_3'} dx_2 + \frac{\partial x_3}{\partial x_3'} dx_3 \]

Dit kan ook worden weergegeven als een tensor (matrixvorm):

\[ \begin{pmatrix} dx_0' \\ dx_1' \\ dx_2' \\ dx_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x_0}{\partial x_0'} & \frac{\partial x_1}{\partial x_0'} & \frac{\partial x_2}{\partial x_0'} & \frac{\partial x_3}{\partial x_0'} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x_1'} & \frac{\partial x_1}{\partial x_1'} & \frac{\partial x_2}{\partial x_1'} & \frac{\partial x_3}{\partial x_1'} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x_2'} & \frac{\partial x_1}{\partial x_2'} & \frac{\partial x_2}{\partial x_2'} & \frac{\partial x_3}{\partial x_2'} \\ \frac{\partial x_0}{\partial x_3'} & \frac{\partial x_1}{\partial x_3'} & \frac{\partial x_2}{\partial x_3'} & \frac{\partial x_3}{\partial x_3'} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} \]

Deze matrix stelt de Jacobiaan van de coördinatentransformatie voor, en beschrijft hoe vectorcomponenten transformeren tussen twee stelsels.

4. Interpretatie

Deze formule laat zien hoe een vector (of differentiaal) in het ene stelsel kan worden uitgedrukt in het andere stelsel. Belangrijk hierbij is:

• De transformatiefactoren \( \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial x_{\beta'}} \) geven aan hoe de oude coördinaten veranderen met respect tot de nieuwe.
• In tensoranalyse spreken we van een covariante transformatie als de indices zich rechts onder bevinden (zoals \( \partial x_{\beta} \)) en contravariante transformatie als de indices boven staan (zoals \( dx^{\beta} \)).

5. Voorbeeld: Transformatie binnen Schwarzschild-metriek

Een praktische toepassing is de overgang van bolcoördinaten \( (t,r,\theta,\varphi) \) naar cartesische coördinaten \( (t, x, y, z) \). Hierbij worden de ruimtelijke coördinaten getransformeerd via:

\[ x=r\sin\theta\cos\varphi \quad x=r\sin\theta\sin\varphi \quad x=r\cos\theta \]

De bijbehorende differentiaaltransformaties voor \( dx, dy, dz \) kunnen dan worden afgeleid met behulp van de kettingregel, zoals hierboven geformaliseerd.

7.3 Antwoord op vragen betreffende Schwarzschild

Vraag 1:

Waar komt de algemene relativiteitsformule met de Ricci-tensor vandaan, die pas na 1916 algemeen gebruikt werd?

Antwoord:

De volledige veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie, inclusief de Ricci-tensor, maakten vanaf het begin deel uit van Einsteins theorie. De vereenvoudigde versie met de voorwaarde \( g=-1 \) werd later gebruikt om de vergelijkingen wiskundig eenvoudiger te maken, maar deze beperking verkleint het aantal mogelijke oplossingen.

In veel literatuur wordt de tensor \( G_{\mu\nu} \) de Einstein-tensor genoemd. Einstein zelf presenteerde deze tensor als:

\[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R \]

Hierin is:

• \( R_{\mu\nu} \): de Ricci-tensor,
• \( R \): de Ricci-scalar, ofwel het spoor van de Ricci-tensor,
• \( g_{\mu\nu} \): de metrische tensor van de ruimte-tijd.

De Ricci-scalar is gegeven door:

\[ R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=g^{00}R_{00}+g^{11}R_{11}+g_{22}R^{22}+g^{33}R_{33} \]

Contractie van de Einstein-veldvergelijkingen met \( g^{\mu\nu} \) levert:

\[ g^{\mu\nu}G_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R=R-\frac{1}{2}4R=-R \]

De volledige Einstein-veldvergelijkingen luiden:

\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \]

Waarbij:

• \( R_{\mu\nu} \): de Ricci tensor,
• \( g_{\mu\nu} \): de metrische tensor,
• \( G \) de gravitatieconstante,
• \( T_{\mu\nu} \): de energie-impuls-tensor,
• \( c \): de lichtsnelheid.

Buiten een massieve bol bevindt zich geen materie of energie. In dat geval is \( T_{\mu\nu}=0 \), en vereenvoudigen de veldvergelijkingen zich tot:

\[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0 \]

We weten dat:

\[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}4R_{\mu\nu}=-R_{\mu\nu} \]

Waaruit volgt:

\[ G_{\mu\nu}=0 \text{ alleen als } R_{\mu\nu}=0 \text{ en dus ook } R=0 \]

Achtergrond: van Riemann tot Ricci

Einstein bouwde voort op het werk van Riemann, die reeds een wiskundige beschrijving van gekromde oppervlakken had ontwikkeld. De Riemann-tensor:

\[ R_{\mu\beta\rho\nu} \]

Dit is een tensor van rang vier en moeilijk te visualiseren. Omdat de massa-energie-impulstensor \( T_{\mu\nu} \) slechts twee indices heeft, moet de Riemann-tensor worden omgezet van vier naar twee indices.

Met behulp van de metrische tensor kan de covariante Riemann-tensor worden omgezet in een gedeeltelijk contravariante vorm:

\[ R^{\beta}_{\mu\rho\nu}=g^{\beta\beta}R_{\mu\beta\rho\nu} \]

Dit is nodig om de gewenste contractie uit te voeren. Door \( \beta=\rho \) te stellen, kan de contractie worden uitgevoerd met als resultaat de Ricci-tensor \( R_{\mu\nu} \).

\[ R^{\beta}_{\mu\beta\nu}=R_{\mu\nu} \]

Hierbij is de Ricci-tensor dus het spoor van de Riemann-tensor.

De rol van Christoffel-symbolen

De Ricci-tensor kan ook worden uitgedrukt in termen van de Christoffel-symbolen:

\[ R_{\mu\nu}=R_{\mu\rho\nu}^{\rho}=\Gamma_{\mu\nu,\rho}^{\rho}-\Gamma_{\rho\mu,\nu}^{\rho}+ \Gamma_{\rho\lambda}^{\rho}\Gamma_{\nu\mu}^{\lambda}-\Gamma_{\nu\lambda}^{\rho} \Gamma_{\rho\mu}^{\lambda} \]

waarbij het Christoffel-symbool zelf luidt:

\[ \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}\left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}}+ \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}}- \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right) \]

De afgeleide van Christoffel-symbool wordt dan:

\[ \Gamma_{\mu\nu,\gamma}^{\rho}=\frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}}{\partial x^{\gamma}}= - g^{\rho\alpha}\cdot \frac{\partial g_{\rho\alpha}}{\partial x_{\gamma}}\cdot \Gamma_{\mu\nu}^{\rho} +\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}\left( \frac{\partial^2 g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\gamma}}+ \frac{\partial^2 g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\gamma}}- \frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\gamma}} \right) \]

Bij het berekenen van de Ricci-elementen \( R_{00},R_{11},R_{22},R_{33} \) met de volledige Einsteinveldvergelijkingen blijkt dat dezen allemaal nul zijn, wat correct is. Maar wanneer we de berekening doen met de beperkte formule van de veldvergelijkingen \( (g=-1) \) is het resultaat niet correct. Dus de Schwarzschild vergelijking voldoet wel aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte. Dit klopt omdat bij de Schwarzschildvergelijking \( g\neq -1 \).

Over de Schwarzschild-oplossing en de beperking g=−1

Schwarzschild gebruikt de welbekende polaire vergelijking. De determinant van de metrische tensor (hier het product van de coëfficiënten) is niet \( -1 \). Deze polaire vergelijking voldoet aan de Einstein-veldvergelijkingen, maar niet aan de beperkte versie van deze vergelijkingen, omdat bij de laatste \( g=-1 \) vereist is. Schwarzschild heeft een transformatie afgeleid, gebaseerd op aangepaste polaire coördinaten, waarbij hij de transformatie zodanig heeft gekozen dat \( g=-1 \) wordt gehaald. In dat geval voldoet de vergelijking ook aan de beperkte Einstein-veldvergelijkingen.

Conclusie

Hoewel Schwarzschild probeerde te voldoen aan Einsteins wens om de metrische spoor \( g=-1 \) te hebben, is mijns inziens de enige relevante vraag dat de Einstein-veldvergelijkingen, waarbij \( T_{\mu\nu}=0 \), en dus \( R_{00}=R_{11}=R_{22}=R_{33}=0 \), worden nageleefd, ongeacht of \( g=-1 \) of \( g\neq -1 \). Dus, de eis van \( g=-1 \) is een onnodige beperking.

Vraag 2:

De consequentie van het verschil in formules is groot. In jouw document tel ik negen Christoffel-symbolen, terwijl Karl Schwarzschild er tien vond. Bij jou lijkt de 222 \( (\Gamma_{22}^{2}) \) afwezig te zijn. Dit komt omdat jouw definitie van de metrische tensor g verschilt van die van Schwarzschild; \( g_{22} \) en \( g_{33} \) zijn -1 voor Schwarzschild, terwijl jij de coördinaat r toevoegt (bijvoorbeeld \( g_{22}=-r^2 \)). Ook Droste (1917), Eddington (1921), MWT (1975) en OAS (2007) hielden zich aan \( g=-1 \) voor de Schwarzschild-oplossing, zodat: \( g_{22}=g_{33}=-1 \). Dit roept de vraag bij mij op: denk je dat \( g=-1 \) vereist is voor de Schwarzschild-oplossing?

Antwoord:

In de oorspronkelijke afleiding van Schwarzschild werd gestart vanuit het Cartesiaanse coördinatenstelsel (x, y, z). De metriek in die vorm heeft de volgende componenten:

\[ g_{00}=\sigma^2 \quad g_{11}=-\frac{1}{r^4\sigma^2} \quad g_{22}=-r^2\sin^2\theta \quad g_{33}=-r^2\sin^2\theta \]

In dit geval worden tien (of veertien) relevante Christoffel-symbolen gecreëerd. Ook zie je in mijn overzicht van formules dat ik formules heb afgeleid voor zowel de bolvormige als de Cartesiaanse x, y, z vorm. In de x, y, z vorm bestaat 222 \( (\Gamma_{22}^{2}) \).

Voor de bolvormige vorm is dit echter anders; daar zijn de elementen van de metrische tensor:

\[ g_{00}=\sigma^2 \quad g_{11}=-\frac{1}{\sigma^2} \quad g_{22}=-r^2 \quad g_{33}=-r^2\sin^2\theta \]

Dit is exact dezelfde vorm als bij Schwarzschild. In deze bolcoördinaten zijn \( g_{22} \) en \( g_{33} \) expliciet afhankelijk van \( r \) en \( \theta \), en kunnen dus niet constant zijn, zoals bij \( g_{22}=g_{33}=-1 \). Als deze waarden constant zouden zijn, zouden de partiële afgeleiden \( \frac{\partial g_{22}}{\partial r}, \frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}, \frac{\partial g_{33}}{\partial r}, \frac{\partial g_{33}}{\partial \theta} \) allemaal nul zijn. Hierdoor zouden veel Christoffel-symbolen, waaronder cruciale zoals \( \Gamma_{221} \) en \( \Gamma_{222} \), eveneens verdwijnen.

Dit geldt ook voor Schwarzschild! De elementen \( g_{22} \) en \( g_{33} \) kunnen niet -1 zijn omdat in dat geval \( \frac{\partial g_{22}}{\partial r}, \frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}, \frac{\partial g_{33}}{\partial r}, \frac{\partial g_{33}}{\partial \theta} \) nul zouden zijn en het aantal Christoffel-symbolen beperkt zou zijn tot 001 \( (\Gamma^{0}_{01})\), 010 \( (\Gamma^{0}_{10}) \), 100 \(( \Gamma^{1}_{00}) \) en 111 \( (\Gamma_{11}^{1} )\).

Wat betreft \( \Gamma_{22}^{2} \):

Voor bolcoördinaten is deze component inderdaad nul, omdat \( g_{22} \) niet afhankelijk is van \( \theta \) en de afgeleide dus nul is:

\[ \Gamma_{22}^{2}=\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{22}}{\partial \theta}=0 \]

Belangrijk is wel dat bij evaluatie van componenten op een specifieke waarde zoals \( \theta=\frac{\pi}{2} \), (oftewel 90°) pas aan het einde van de berekeningen mag worden gesubstitueerd.

Bijvoorbeeld:

\[ \Gamma_{33}^{2}=\frac{1}{2}g^{22}\left(-\frac{\partial g_{33}}{\partial \theta}\right) =-\cos\theta\sin\theta=0 \text{ wanneer } \theta=90^\circ \]

Deze waarde wordt nul als \( \theta=\frac{\pi}{2} \), maar voor het Ricci-element is ook de afgeleide van dit Christoffel-symbool ten opzichte van \( \theta \) nodig en die is:

\[ \frac{\partial \Gamma_{33}^{2}}{\partial \theta}=-\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \text{ wanneer } \theta=90^\circ \]

En die is dus niet nul, wat cruciaal is voor het berekenen van bijvoorbeeld het Ricci-tensorcomponent \( R_{22} \).

Wat betreft de voorwaarde \( \det(g)=-1 \):

Waarom Einstein deze restrictie introduceerde is niet volledig duidelijk, maar het maakt de algebra in veel gevallen eenvoudiger en zorgt voor symmetrie. Maar naar mijn mening leidt dit tot een onnodige beperking. Het hangt ook af van welk type coördinatenstelsel wordt gekozen. Bijvoorbeeld, het element van de metrische tensor van t, x, y, z levert inderdaad een \( \det(g) \) van -1 op:

\[ \sigma^2 \cdot \left(-\frac{1}{r^4\sigma^2}\right) \cdot\left( -\frac{r^2}{\sin^2\theta} \right) \cdot\left( -r^2\sin^2\theta\right) = -1 \]

Maar met bolcoördinaten is het:

\[ \sigma^2 \cdot -\frac{1}{\sigma^2} \cdot \left(-r^2\right) \cdot \left(-r^2\sin^2\theta\right) = - r^4\sin^2\theta \]

En dus is hier \( \det(g)\neq -1 \). Toch voldoet deze metriek perfect aan de Einstein-veldvergelijkingen in vacuüm \( (T_{\mu\nu}=0) \) wat betekent dat \( R_{\mu\nu}=0 \) en dus ook \( R=0 \).

Conclusie: De eis \( \det(g)=-1 \) is een coördinaatafhankelijke conventie die wiskundig gemak kan bieden, maar fysisch niet noodzakelijk is voor de juistheid van de Schwarzschild-oplossing. Wat werkelijk telt is dat de veldvergelijkingen worden vervuld. De keuze van Schwarzschild om een transformatie te gebruiken waarmee \( \det(g)=-1 \) wordt bereikt, was vooral bedoeld om aan Einsteins wensen te voldoen, maar is vanuit fysisch oogpunt overbodig.

Vraag 3:

De veldvergelijkingen in jouw document op pagina 2 en 3, gebaseerd op de Ricci-tensor, verschillen sterk van die welke wij (en Karl Schwarzschild) in bijlage E, op basis van de G-tensor, hebben gebruikt. Je hebt de G-tensor ook genoemd in jouw document op pagina 9. Mijn vraag is: zouden de resultaten niet hetzelfde moeten zijn?

Antwoord:

Onder de G-tensor, zoals je noemt in je vraag, bedoel je de beperkte veldvergelijkingen van Einstein. Zoals ik in mijn verhaal theoretisch heb laten zien voldoet Schwarzschild aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte veldvergelijkingen G. Dit komt omdat Einstein de extra eis van \( \det(g)=-1 \) introduceerde om zo eenvoudiger formules te krijgen maar dit leidde tot onnodige beperking van mogelijke oplossingen zoals de Schwarzschild vergelijking gebaseerd op bolvormige coördinaten. Terwijl deze vergelijking een geweldige oplossing is voor het, op een redelijk eenvoudige wijze, rekenen naar verschijnsel in het vacuüm.

Vraag 4:

Ik heb nog steeds enige moeite met het begrijpen van de Schwarzschild-vergelijking en de veldvergelijkingen van Einstein. Kun je hier wat dieper op ingaan?

Antwoord:

Het lijkt erop dat we ons opnieuw begeven in een discussie die we al eerder hebben gevoerd. Laat mij vooraf duidelijk stellen: het is niet mijn bedoeling om de Schwarzschild- of Einstein-oplossing te verdedigen tegenover jouw benadering, of kritiek te leveren op jouw suggestie tot aanpassing van de Schwarzschild-metriek. Mijn streven is om tot een volledig begrip te komen. Zolang ik de Schwarzschild-oplossing niet doorgrond, blijf ik zoeken naar inzicht. Pas wanneer ik een fundamentele fout herken én begrijp, zal ik overwegen de oplossing te herzien.

Laten we daarom eerst de Schwarzschild-oplossing in detail bekijken, vóór we ons verdiepen in de Einstein-veldvergelijkingen. Ik pretendeer niet het volledige antwoord al te kennen, maar ik wil hier uiteenzetten hoe ik de structuur tot nu toe begrijp.

Het uitgangspunt van Einstein

Einstein zocht naar een beschrijving van de zwaartekracht waarin de zwaartekracht geen kracht meer is, zoals bij Newton, maar eerder een gevolg van de kromming van de ruimte-tijd. Hij wilde een coördinatenstelsel vinden waarin geen krachten voelbaar zijn, zodat een vrij vallend deeltje zich voortbeweegt zonder versnelling – in zekere zin “vrijwillig”, zonder externe oorzaak.

In de klassieke mechanica beweegt een object met constante snelheid langs een rechte lijn als er geen kracht op werkt. Einstein vertaalde dit naar de relativiteitstheorie: een object zonder externe kracht beweegt langs een geodetische lijn in de gekromde ruimte-tijd. Deze geodeten zijn in zekere zin de “rechte lijnen” van de kromme ruimte-tijd.

Einstein zocht dus naar een wiskundige formulering die voor elk coördinatenstelsel, gekromd of niet, geldig is en het zwaartekrachtsveld correct beschrijft. Dit leidde tot de veldvergelijkingen:

\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=0 \]

in het vacuümgeval (buiten een massa), waarbij:

• \( R_{\mu\nu} \) de Ricci-Tensor is, een maat voor lokale kromming,
• \( R \) de Ricci-scalar, het spoor van de Ricci-tensor,
• \( g_{\mu\nu} \) de metriek, die de ruimte-tijdstructuur beschrijft.

Deze vergelijking is covariant: ze is geldig in elk willekeurig coördinatenstelsel.

Coördinaten, metriek en geometrie

Hoewel de veldvergelijkingen coördinatenonafhankelijk zijn, zijn de componenten van de betrokken tensors wél afhankelijk van de keuze van coördinatenstelsel. De Ricci-tensor en de scalair \( R \) worden uitgedrukt in termen van de Christoffel-symbolen, die zelf afgeleid zijn uit de metriek \( g_{\mu\nu} \).

De metriek beschrijft hoe de afstand \( ds^2 \) tussen twee infinitesimaal nabije punten wordt berekend. In het eenvoudigste geval (bijvoorbeeld vlakke ruimte in Cartesische coördinaten) is dit:

\[ ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \]

Maar in gekromde ruimte-tijd hangt \( ds^2 \) af van de locatie en van de metriekcomponenten. De metriek bevat informatie over de geometrische structuur van de ruimte, inclusief mogelijke kruistermen (zoals \( dx\,dy \)) als de coördinaten niet orthogonaal zijn.

Ter vergelijking:

• In een rechthoekig vlakke ruimte geldt \( c^2=a^2+b^2 \) (Pythagoras).
• In een oblieke ruimte geldt \( c^2=a^2+b^2-2ab\cos\varphi \) (cosinusregel).

In analogie hiermee beschouwt Einstein de ruimte-tijd als opgebouwd uit een oneindig aantal infinitesimaal kleine vlakjes, waarop de meetkunde lokaal als vlak kan worden beschouwd (via het equivalentieprincipe). In die kleine gebieden gebruiken we nog steeds een coördinatensysteem, maar de metriekcomponenten veranderen van locatie tot locatie – en coderen de kromming.

Schwarzschild’s benadering

Karl Schwarzschild vond een exacte oplossing van de Einstein-vergelijkingen in vacuüm rond een bolvormige massa. Hij koos een coördinatenstelsel dat zoveel mogelijk symmetrie bevat:

• sferisch symmetrisch,
• statisch (tijdonafhankelijk),
• en zonder kruistermen (dus een diagonaalvormige metriek).

Dat levert de Schwarzschild-metriek op:

\[ ds^2=\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2dt^2-\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2 \]

Deze formule beschrijft het kwadratische lijnsegment \( ds^2 \) als functie van vier coördinaten: \( t,r,\theta,\varphi \). De coëfficiënten (metriekcomponenten) hangen af van \( r \) (en impliciet via \( \sin^2\theta \) ook van \( \theta \), maar niet van \( t \) of \( \varphi \)).

Dat weerspiegelt de fysieke aannames: de oplossing is statisch (tijdonafhankelijk) en sferisch symmetrisch.

Elke locatie in de ruimte heeft zijn eigen metriekcomponenten, en dus zijn eigen meetkundige structuur. Door het integreren van \( ds \) langs een pad verkrijgen we de totale afstand of tijdsduur van het traject in deze gekromde ruimte-tijd.

Samenvatting

• De Einstein-veldvergelijkingen beschrijven hoe massa en energie de kromming van de ruimte-tijd bepalen.
• De Ricci-tensor en Einstein-tensor zijn meetkundige objecten die onafhankelijk zijn van het coördinatenstelsel, maar hun componenten veranderen bij een andere coördinatenkeuze.
• Schwarzschild koos een specifiek coördinatenstelsel en vond een exacte oplossing voor het zwaartekrachtsveld buiten een bolsymmetrische massa.
• Zijn oplossing is consistent met de Einstein-vergelijkingen en is nog steeds een van de belangrijkste oplossingen in de algemene relativiteitstheorie.

7.4 Gedetailleerde afleiding van de Einstein-Vergelijking (57) vanuit vergelijking (53)

Vraag:

Ik ben Einsteins originele GR-paper aan het lezen. Ik heb het als PDF bij deze e-mail bijgevoegd. (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 (this revised edition: 1924)) (Einstein, The Collected Papers of Albert Einstein, 1997)

In sectie 18, onderaan pagina 186 van het artikel (onderaan links op pagina 22 van de PDF), staat een vergelijking die ik probeer af te leiden met de methode die Einstein voorstelt in het artikel (vermenigvuldiging van vergelijking 53 met de afgeleide van de metrische tensor en gebruikmakend van de methoden in sectie 15). Zou je deze vergelijking op de specifieke manier die Einstein aangeeft kunnen afleiden, en uitsluitend gebaseerd op het voorgaande materiaal in Einsteins artikel? Kun je mij de gedetailleerde stappen laten zien die je hebt genomen om tot die vergelijking te komen volgens de methode die Einstein aangeeft?

Antwoord:

Opmerking: de vergelijkingsnummers verwijzen naar het originele werk van Einstein over Algemene Relativiteit.

Afleiding van vergelijking (57) uit vergelijking (53)

We vertrekken vanuit vergelijking (53) in Einsteins artikel:

\[ \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} +\Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} =-\kappa\left( T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) \]

Hierbij geldt:

• \( T_{\mu\nu} \) is de energie-impuls-tensor,
• \( T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \) is het spoor ervan,
• en we nemen aan dat \(\sqrt{ -g}=1 \), zoals Einstein in sectie 18 doet.

Stap 1: Vermenigvuldig met \( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\varsigma} \)

\[ \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} +\Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \right) = \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \left( -\kappa \left(T_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right) \right) \]

Dit leidt tot:

\[ =-\kappa\left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T\right) \]

Stap 2: Gebruik dat \( g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}=0 \)

Uit vergelijking (29) in Einsteins artikel volgt:

\[ \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial(\sqrt{-g})}{\partial x_\sigma} =-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \]

Omdat \( \sqrt{-g}=-1 \), is:

\[ -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}=0 \]

Dus:

De vergelijking wordt:

\[ \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} + \kappa \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \]

De volgende stap:

\[ \frac{1}{2\kappa}\left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}\frac{\partial \Gamma^\alpha_{\mu\nu}}{\partial x^\alpha}+\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}\Gamma^\alpha_{\mu\beta} \Gamma^\beta_{\nu\alpha} \right)+ \frac{1}{2}\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \tag{1} \]

Vervang dit in:

\[ \frac{1}{2\kappa} \left(\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\left(-2\kappa t^\alpha_\sigma \right) \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T_{\mu\nu} = 0 \tag{1a} \]

(Kijk verder hieronder voor de uitwerking van de stap van vergelijking (1) naar (1a).)

Dit leidt tot:

Gebruik nu Einsteins vergelijking (56):

Dus:

Vervang \(\sigma\) door \(\alpha\), en \(\mu\) door \(\sigma\):

De vergelijking (2) wordt:

Dit is precies Einsteins vergelijking (57).

Afleiding van de stap van vergelijking (1) naar (1a) van hierboven:

Om te bewijzen dat:

Gebruiken we Einstein vergelijking (48):

Einstein vergelijking (47b):

\[ \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \]

Kan herschreven worden als:

\[ \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \]

Nu kunnen we differentiëren:

\[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\sigma}^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \]

Hier geldt:

\[ \frac{\partial g_{\sigma}^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial^2 g^{\mu\nu}}{\partial x^\alpha \partial x^\sigma} = \frac{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \]

Vul dit in:

\[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \]

Zoals vermeld in Einsteins document onder vergelijking (47a), wordt \( H \) beschouwd als een functie van \( g^{\mu\nu} \) en \( g_{\sigma}^{\mu\nu}=\frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \), dus:

\[ \frac{\partial H}{\partial x^\sigma} = \frac{\partial H}{\partial g_{,\alpha}^{\mu\nu}} \frac{\partial g_{,\alpha}^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial H}{\partial g^{\mu\nu}} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \]

Vul dit in:

\[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial x^\sigma} \]

Of:

\[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^\sigma}(H) \]\[ = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^\alpha} (\delta_{\sigma}^{\alpha}H) \]

\[ = \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \delta_{\sigma}^{\alpha}H \right) \]

Volgens Einstein vergelijking (49):

\[ -2\kappa t_{\sigma}^{\alpha} = g_{\sigma}^{\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha}^{\mu\nu}} - \delta_{\sigma}^{\alpha}H \]

Vul dit in vergelijking (1):

\[ \frac{1}{2\kappa} \left( \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \frac{\partial \Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \Gamma_{\mu\beta}^{\alpha}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta} \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \]

Wordt:

\[ \frac{1}{2\kappa}\left[ \frac{\partial}{\partial x^\alpha} (-2\kappa t_{\sigma}^{\alpha})\right] + \frac{1}{2} \frac{\partial g^{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}T_{\mu\nu} =0 \]

7.5 Vraag over vergelijking in Einsteins origineel werk (Engelse versie)

Vraag:

Ik voeg opnieuw het PDF-bestand toe van Einsteins artikel ter referentie (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 – herziene editie 1924; ook in The Collected Papers of Albert Einstein, 1997).

Onderaan pagina 191 van de Engelse versie staan drie termen, gescheiden door gelijkheidstekens. Ik begrijp niet waarom de eerste term gelijk is aan de tweede. Einstein verwijst naar vergelijking (60), maar die helpt me niet verder. Kun je uitleggen waarom die twee termen aan elkaar gelijk zijn?

Antwoord:

We bekijken eerst vergelijking (60) in Einsteins originele Duitse artikel.

Op pagina 812 van het Duitse origineel lijkt een fout te staan in vergelijking (60):

\[ \frac{\partial F_{\varrho\sigma}}{\partial x^\tau} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^\varrho} + \frac{\partial F_{\tau\varrho}}{\partial x^\varrho} =0 \]

Waarschijnlijk is dit:

\[ \frac{\partial F_{\varrho\sigma}}{\partial x^\tau} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^\varrho} + \frac{\partial F_{\tau\varrho}}{\partial x^\sigma} =0 \tag{60} \]

In de Engelse vertaling is dit gecorrigeerd.

Op pagina 191 vinden we:

\[ F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{1}{2}F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} = -\frac{1}{2}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \tag{1} \]

Waarom geldt:

\[ F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{1}{2}F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}? \]

Volgens (60):

\[ \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} =0 \]

Dus:

\[ \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} = -\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu} \]

Invullen:

\[ F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} =F^{\mu\nu}\left( - \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^\mu}\right) =-F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma}-F^{\mu\nu}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \]

Nu splitsen we elke term in twee gelijke delen:

Nu herschikken we de indices (dummy-indices mogen verwisseld worden):

Omdat \(F^{\nu\mu} = -F^{\mu\nu}\), verandert het laatste lid van teken:

Door de indices van \(\frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}}\) om te wisselen en het teken te veranderen:

De uitdrukking tussen haakjes is precies vergelijking (60), die gelijk is aan nul. Dus:

7.6 Vraag over Einsteins vergelijking (69)

Vraag:
In vergelijking (69) uit Einsteins boek staat: \[ k = \frac{8\pi K}{c^2} = 1.87 \cdot 10^{-27} \quad (E69) \] Waarom komt dit getal niet overeen met de waarde die we tegenwoordig gebruiken? En waarom staat er nog een \( c^2 \) in de noemer als Einstein eerder heeft gesteld \( c = 1 \) te nemen?

Antwoord:
Einstein werkte in dit boek met CGS-eenheden (centimeter–gram–seconde), terwijl we tegenwoordig meestal SI-eenheden (meter–kilogram–seconde) gebruiken. Dat veroorzaakt verschillen in de numerieke waarden van natuurconstanten zoals \( K \) (de gravitatieconstante), afhankelijk van het eenhedenstelsel.

Stap 1: Interpretatie van Einsteins notatie

• In Einsteins vergelijking: \[ k = \frac{8\pi K}{c^2} \]
• Is:
• \( K \) de gravitatieconstante in CGS-eenheden: \[ K = 6.67 \cdot 10^{-8} \, \text{cm}^3 \text{g}^{-1} \text{s}^{-2} \]
• \( c = 3.00 \cdot 10^{10} \, \text{cm/s} \)

Als we deze waarden invullen: \[ k = \frac{8\pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-8}}{(3.00 \cdot 10^{10})^2} \approx 1.87 \cdot 10^{-27} \] Dat is precies de waarde die Einstein vermeldt. Zijn berekening klopt dus binnen het CGS-stelsel.

Stap 2: Omschakeling naar moderne eenheden (SI)

In moderne literatuur gebruiken we voor de Einstein-veldvergelijkingen: \[ k = \frac{8\pi G}{c^4} \approx 2.07 \cdot 10^{-43} \] met:

• \( G = 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \)
• \( c = 3.00 \cdot 10^{8} \, \text{m/s} \)

Ingevuld: \[ k = \frac{8\pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-11}}{(3.00 \cdot 10^{8})^4} \approx 2.07 \cdot 10^{-43} \, \text{m}^{-1} \text{kg}^{-1} \text{s}^2 \]

Stap 3: Waarom is er nog een \( c^2 \) in Einsteins vergelijking?

Hoewel Einstein op andere plaatsen in het boek de conventie \( c = 1 \) gebruikt (natural units), blijft hij hier \( c \) expliciet noteren. Dat is waarschijnlijk omdat hij op dit punt nog een numerieke schatting wilde geven die correspondeert met concrete fysische eenheden, en dus even afzag van de conventie \( c = 1 \).

Conclusie:

• Einsteins waarde van \( k \approx 1.87 \cdot 10^{-27} \) is correct in CGS-eenheden.
• In moderne SI-eenheden is \( k \approx 2.07 \cdot 10^{-43} \).
• De notatie met expliciete \( c^2 \) duidt erop dat Einstein hier nog niet volledig gebruikmaakt van natural units (\( c = 1 \)).